Rechenaufgaben zum Tangens

1. Fall: Winkel

\[ \begin{aligned} \tan(\alpha) &= \frac{6\, \cancel m}{9\, \cancel m} && |\, \tan^{-1} \\[8pt] \alpha &= \tan^{-1}\left(\frac{6}{9}\right) \\[8pt] \alpha &\approx 33,7\,^\circ \end{aligned} \]

2. Fall: Zähler

\[ \begin{aligned} \tan(25^\circ) &= \frac{x}{4\,m} && \, |\, \cdot\,{4\,m} \\[8pt] \tan(25^\circ)\cdot{4\,m}&={x} \\[8pt] {1,87\,m} &\approx {x} \end{aligned} \]

3. Fall: Nenner

\[ \begin{aligned} \tan(21^\circ) &= \frac{8\,m}{x} && |\, \cdot\,{x} \\[8pt] \tan(21^\circ)\cdot{x}&={8\,m} && |\, :\tan(21^\circ) \\[8pt] x &= \frac{8\,m}{\tan(21^\circ)} \\[8pt] x &\approx {20,84\,m} \end{aligned} \]
Beispiel 1: Gib das gesuchte Seitenverhältnis an.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\( \tan (\alpha ) =\dfrac{a}{b} \)
\( \tan (\beta ) =\dfrac{z}{y} \)
\( \tan (\gamma ) =\dfrac{q}{p} \)
\( \tan (\alpha ) =\dfrac{a}{b} \)
\( \tan (\beta ) =\dfrac{z}{y} \)
\( \tan (\gamma ) =\dfrac{q}{p} \)

Tipp: Achte immer nach jeder Aufgabe darauf, dass die Einheit am Ende deiner Rechnung korrekt ist. Typische Oberflächeneinheiten sind \(m^2, dm^2, cm^2 \) und \( mm^2\).

Beispiel 2: Berechne den gesuchten Winkel.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} \tan(\alpha) &= \frac{7\,\cancel m}{9\,\cancel m} && \, |\, \tan^{-1} \\[8pt] \alpha &= \tan^{-1}\left(\frac{7}{9}\right) \\[8pt] \alpha &\approx 37,87^\circ \end{aligned} \]

Tipp: Für den Zusammenhang zwischen Radius \(r \) und Durchmesser \(d\) gilt: \(r=\frac{d}{2} \)

Beispiel 3: Berechne die gesuchte Seitenlänge.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} \tan(29^\circ) &= \frac{y}{15\,m} && \, |\, \cdot\,{15\,m} \\[8pt] \tan(29^\circ)\cdot{15\,m}&={y} \\[8pt] {8,31\,m} &\approx {y} \end{aligned} \]

Tipp: Achte darauf, dass du die Einheiten immer richtig umformst. Bevor du alle Werte im Taschenrechner eingibst, müssen diese dieselbe Einheit haben.

Beispiel 4: Berechne die gesuchte Seitenlänge.

Der abgebildete Körper setzt sich aus zwei Kegel zusammen. Berechne die Oberfläche und das Volumen des Körpers.

\[ \begin{aligned} \tan(30^\circ) &= \frac{8,8\,m}{z} && \, |\, \cdot\,{z} \\[8pt] \tan(30^\circ)\cdot{z}&={8,8\,m} && \, |\, :\tan(30^\circ) \\[8pt] z &= \frac{8,8\,m}{\tan(30^\circ)} \\[8pt] z &\approx {15,24\,m} \end{aligned} \]

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