Der Sinussatz

Der Sinussatz Der Sinussatz gibt eine Beziehung zwischen den Winkeln eines allgemeinen Dreiecks und den gegenüberliegenden Seiten an. Es gilt:
\( \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} \)
Der Sinussatz Info 1: Die Beschriftung ist so zu wählen, dass die Seiten 𝑎, 𝑏 und 𝑐 den Winkeln 𝛼, 𝛽 und 𝛾 wie in obenstehender Abbildung gegenüberliegen.

Info 2: Der Sinussatz wird angewendet, wenn
  • 1 Seite und 2 Winkel oder
  • 2 Seiten und 1 Winkel gegeben sind, wobei die beiden gegebenen Seiten den gegebenen Winkel nicht einschließen dürfen.
Beispiel 1: Gesetz der Sinus.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\( \frac{a}{\sin(43°)} = \frac{9 \,m}{\sin(56°)} \)
\( \frac{x}{\sin(60°)} = \frac{7 \,cm}{\sin(42°)} \)
\( \frac{s}{\sin(34°)} = \frac{3 \,m}{\sin(73°)} \)
\( \frac{b}{\sin(42°)} = \frac{11 \,cm}{\sin(65°)} \)
\( \frac{y}{\sin(47°)} = \frac{28 \,m}{\sin(61°)} \)
\( \frac{z}{\sin(49°)} = \frac{2 \,dm}{\sin(51°)} \)
\( \frac{a}{\sin(43°)} = \frac{9 \,m}{\sin(56°)} \)
\( \frac{x}{\sin(60°)} = \frac{7 \,cm}{\sin(42°)} \)
\( \frac{s}{\sin(34°)} = \frac{3 \,m}{\sin(73°)} \)
\( \frac{b}{\sin(42°)} = \frac{11 \,cm}{\sin(65°)} \)
\( \frac{y}{\sin(47°)} = \frac{28 \,m}{\sin(61°)} \)
\( \frac{z}{\sin(49°)} = \frac{2 \,dm}{\sin(51°)} \)

Tipp: Achte immer nach jeder Aufgabe darauf, dass die Einheit am Ende deiner Rechnung korrekt ist. Typische Oberflächeneinheiten sind \(m^2, dm^2, cm^2 \) und \( mm^2\).

Beispiel 2: Gib das gesuchte Seitenverhältnis an.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} \frac{a}{\sin(47°)}&= \frac{11 \,m}{\sin(52°)} && \, |\, \cdot\,{\sin(47°)} \\[8pt] a &=\frac{11 \,m}{\sin(52°)}\cdot {\sin(47°)}\\[8pt] a &\approx {10,21\,m} \end{aligned} \]

Tipp: Für den Zusammenhang zwischen Radius \(r \) und Durchmesser \(d\) gilt: \(r=\frac{d}{2} \)

Beispiel 3: Gib das gesuchte Seitenverhältnis an.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} \frac{x}{\sin(72°)}&= \frac{11 \,cm}{\sin(52°)} && \, |\, \cdot\,{\sin(47°)} \\[8pt] a &=\frac{11 \,m}{\sin(52°)}\cdot {\sin(47°)}\\[8pt] a &\approx {10,21\,m} \end{aligned} \]

Tipp: Für den Zusammenhang zwischen Radius \(r \) und Durchmesser \(d\) gilt: \(r=\frac{d}{2} \)

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