Lineare Funktionen Präsentationen

Lineare Funktionen

Hier findest du unsere kostenlosen PowerPoint-Präsentationen & Kahoots zu linearen Funktionen.

Unterrichtsreihe

Rechenaufgaben zum Sinus

1. Fall: Winkel

\[ \begin{aligned} \sin(\alpha) &= \frac{3\, \cancel m}{11\, \cancel m} && |\, \sin^{-1} \\[8pt] \alpha &= \sin^{-1}\left(\frac{3}{11}\right) \\[8pt] \alpha &\approx 15.83^\circ \end{aligned} \]

2. Fall: Zähler

\[ \begin{aligned} \sin(35^\circ) &= \frac{x}{7\,m} && \, |\, \cdot\,{7\,m} \\[8pt] \sin(35^\circ)\cdot{7\,m}&={x} \\[8pt] {4,02\,m} &\approx {x} \end{aligned} \]

3. Fall: Nenner

\[ \begin{aligned} \sin(25^\circ) &= \frac{5\,m}{x} && |\, \cdot\,{x} \\[8pt] \sin(25^\circ)\cdot{x}&={5\,m} && |\, :\sin(25^\circ) \\[8pt] x &= \frac{5\,m}{\sin(25^\circ)} \\[8pt] x &\approx {11,83\,m} \end{aligned} \]
Beispiel 1: Gib das gesuchte Seitenverhältnis an.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\( \sin (\alpha ) =\dfrac{b}{a} \)
\( \sin (\beta ) =\dfrac{y}{x} \)
\( \sin (\gamma ) =\dfrac{y}{z} \)
\( \sin (\alpha ) =\dfrac{b}{a} \)
\( \sin (\beta ) =\dfrac{y}{x} \)
\( \sin (\gamma ) =\dfrac{y}{z} \)
\( \sin (\alpha ) =\dfrac{b}{d} \)

Tipp: Achte immer nach jeder Aufgabe darauf, dass die Einheit am Ende deiner Rechnung korrekt ist. Typische Oberflächeneinheiten sind \(m^2, dm^2, cm^2 \) und \( mm^2\).

Beispiel 2: Berechne den gesuchten Winkel.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} \sin(\alpha) &= \frac{20\,\cancel m}{28\,\cancel m} && \, |\, \sin^{-1} \\[8pt] \alpha &= \sin^{-1}\left(\frac{20}{28}\right) \\[8pt] \alpha &\approx 45.58^\circ \end{aligned} \]

Tipp: Für den Zusammenhang zwischen Radius \(r \) und Durchmesser \(d\) gilt: \(r=\frac{d}{2} \)

Beispiel 3: Berechne die gesuchte Seitenlänge.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} \sin(36^\circ) &= \frac{a}{7\,cm} && \, |\, \cdot\,{7\,cm} \\[8pt] \sin(36^\circ)\cdot{7\,cm}&={a} \\[8pt] {4,11\,cm} &\approx {a} \end{aligned} \]

Tipp: Achte darauf, dass du die Einheiten immer richtig umformst. Bevor du alle Werte im Taschenrechner eingibst, müssen diese dieselbe Einheit haben.

Beispiel 4: Berechne die gesuchte Seitenlänge.

Der abgebildete Körper setzt sich aus zwei Kegel zusammen. Berechne die Oberfläche und das Volumen des Körpers.

\[ \begin{aligned} \sin(56^\circ) &= \frac{18\,dm}{x} && \, |\, \cdot\,{x} \\[8pt] \sin(56^\circ)\cdot{x}&={18\,dm} && \, |\, :\sin(56^\circ) \\[8pt] x &= \frac{18\,dm}{\sin(56^\circ)} \\[8pt] x &\approx {21,71\,dm} \end{aligned} \]

Tipp: Achte darauf, dass du die Einheiten immer richtig umformst. Bevor du alle Werte im Taschenrechner eingibst, müssen diese dieselbe Einheit haben.

Rechenaufgaben zum Kosinus

1. Fall: Winkel

\[ \begin{aligned} \cos(\alpha) &= \frac{18\, \cancel m}{19\, \cancel m} && |\, \cos^{-1} \\[8pt] \alpha &= \cos^{-1}\left(\frac{18}{19}\right) \\[8pt] \alpha &\approx 18.67^\circ \end{aligned} \]

2. Fall: Zähler

\[ \begin{aligned} \cos(33^\circ) &= \frac{x}{9\,m} && \, |\, \cdot\,{9\,m} \\[8pt] \cos(33^\circ)\cdot{9\,m}&={x} \\[8pt] {7,55\,m} &\approx {x} \end{aligned} \]

3. Fall: Nenner

\[ \begin{aligned} \cos(26^\circ) &= \frac{3\,m}{x} && |\, \cdot\,{x} \\[8pt] \cos(26^\circ)\cdot{x}&={3\,m} && |\, :\cos(26^\circ) \\[8pt] x &= \frac{3\,m}{\cos(26^\circ)} \\[8pt] x &\approx {3,34\,m} \end{aligned} \]
Beispiel 1: Gib das gesuchte Seitenverhältnis an.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\( \cos (\alpha ) =\dfrac{b}{a} \)
\( \cos (\beta ) =\dfrac{z}{y} \)
\( \cos (\gamma ) =\dfrac{x}{z} \)
\( \cos (\alpha ) =\dfrac{b}{a} \)
\( \cos (\beta ) =\dfrac{z}{y} \)
\( \cos (\gamma ) =\dfrac{x}{z} \)

Tipp: Achte immer nach jeder Aufgabe darauf, dass die Einheit am Ende deiner Rechnung korrekt ist. Typische Oberflächeneinheiten sind \(m^2, dm^2, cm^2 \) und \( mm^2\).

Beispiel 2: Berechne den gesuchten Winkel.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} \cos(\alpha) &= \frac{7\,\cancel m}{10\,\cancel m} && \, |\, \cos^{-1} \\[8pt] \alpha &= \cos^{-1}\left(\frac{7}{10}\right) \\[8pt] \alpha &\approx 45.57^\circ \end{aligned} \]

Tipp: Für den Zusammenhang zwischen Radius \(r \) und Durchmesser \(d\) gilt: \(r=\frac{d}{2} \)

Beispiel 3: Berechne die gesuchte Seitenlänge.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} \cos(32^\circ) &= \frac{y}{17\,dm} && \, |\, \cdot\,{17\,dm} \\[8pt] \cos(32^\circ)\cdot{17\,dm}&={y} \\[8pt] {14,42\,dm} &\approx {y} \end{aligned} \]

Tipp: Achte darauf, dass du die Einheiten immer richtig umformst. Bevor du alle Werte im Taschenrechner eingibst, müssen diese dieselbe Einheit haben.

Beispiel 4: Berechne die gesuchte Seitenlänge.

Der abgebildete Körper setzt sich aus zwei Kegel zusammen. Berechne die Oberfläche und das Volumen des Körpers.

\[ \begin{aligned} \cos(27^\circ) &= \frac{6,9\,m}{z} && \, |\, \cdot\,{z} \\[8pt] \cos(27^\circ)\cdot{z}&={6,9\,m} && \, |\, :\cos(27^\circ) \\[8pt] z &= \frac{6,9\,m}{\cos(27^\circ)} \\[8pt] z &\approx {7,74\,m} \end{aligned} \]

Tipp: Achte darauf, dass du die Einheiten immer richtig umformst. Bevor du alle Werte im Taschenrechner eingibst, müssen diese dieselbe Einheit haben.

Rechenaufgaben zum Tangens

1. Fall: Winkel

\[ \begin{aligned} \tan(\alpha) &= \frac{6\, \cancel m}{9\, \cancel m} && |\, \tan^{-1} \\[8pt] \alpha &= \tan^{-1}\left(\frac{6}{9}\right) \\[8pt] \alpha &\approx 33,7\,^\circ \end{aligned} \]

2. Fall: Zähler

\[ \begin{aligned} \tan(25^\circ) &= \frac{x}{4\,m} && \, |\, \cdot\,{4\,m} \\[8pt] \tan(25^\circ)\cdot{4\,m}&={x} \\[8pt] {1,87\,m} &\approx {x} \end{aligned} \]

3. Fall: Nenner

\[ \begin{aligned} \tan(21^\circ) &= \frac{8\,m}{x} && |\, \cdot\,{x} \\[8pt] \tan(21^\circ)\cdot{x}&={8\,m} && |\, :\tan(21^\circ) \\[8pt] x &= \frac{8\,m}{\tan(21^\circ)} \\[8pt] x &\approx {20,84\,m} \end{aligned} \]
Beispiel 1: Gib das gesuchte Seitenverhältnis an.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\( \tan (\alpha ) =\dfrac{a}{b} \)
\( \tan (\beta ) =\dfrac{z}{y} \)
\( \tan (\gamma ) =\dfrac{q}{p} \)
\( \tan (\alpha ) =\dfrac{a}{b} \)
\( \tan (\beta ) =\dfrac{z}{y} \)
\( \tan (\gamma ) =\dfrac{q}{p} \)

Tipp: Achte immer nach jeder Aufgabe darauf, dass die Einheit am Ende deiner Rechnung korrekt ist. Typische Oberflächeneinheiten sind \(m^2, dm^2, cm^2 \) und \( mm^2\).

Beispiel 2: Berechne den gesuchten Winkel.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} \tan(\alpha) &= \frac{7\,\cancel m}{9\,\cancel m} && \, |\, \tan^{-1} \\[8pt] \alpha &= \tan^{-1}\left(\frac{7}{9}\right) \\[8pt] \alpha &\approx 37,87^\circ \end{aligned} \]

Tipp: Für den Zusammenhang zwischen Radius \(r \) und Durchmesser \(d\) gilt: \(r=\frac{d}{2} \)

Beispiel 3: Berechne die gesuchte Seitenlänge.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} \tan(29^\circ) &= \frac{y}{15\,m} && \, |\, \cdot\,{15\,m} \\[8pt] \tan(29^\circ)\cdot{15\,m}&={y} \\[8pt] {8,31\,m} &\approx {y} \end{aligned} \]

Tipp: Achte darauf, dass du die Einheiten immer richtig umformst. Bevor du alle Werte im Taschenrechner eingibst, müssen diese dieselbe Einheit haben.

Beispiel 4: Berechne die gesuchte Seitenlänge.

Der abgebildete Körper setzt sich aus zwei Kegel zusammen. Berechne die Oberfläche und das Volumen des Körpers.

\[ \begin{aligned} \tan(30^\circ) &= \frac{8,8\,m}{z} && \, |\, \cdot\,{z} \\[8pt] \tan(30^\circ)\cdot{z}&={8,8\,m} && \, |\, :\tan(30^\circ) \\[8pt] z &= \frac{8,8\,m}{\tan(30^\circ)} \\[8pt] z &\approx {15,24\,m} \end{aligned} \]

Tipp: Achte darauf, dass du die Einheiten immer richtig umformst. Bevor du alle Werte im Taschenrechner eingibst, müssen diese dieselbe Einheit haben.

Der Sinussatz

Der Sinussatz Der Sinussatz gibt eine Beziehung zwischen den Winkeln eines allgemeinen Dreiecks und den gegenüberliegenden Seiten an. Es gilt:
\( \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} \)
Der Sinussatz Info 1: Die Beschriftung ist so zu wählen, dass die Seiten 𝑎, 𝑏 und 𝑐 den Winkeln 𝛼, 𝛽 und 𝛾 wie in obenstehender Abbildung gegenüberliegen.

Info 2: Der Sinussatz wird angewendet, wenn
  • 1 Seite und 2 Winkel oder
  • 2 Seiten und 1 Winkel gegeben sind, wobei die beiden gegebenen Seiten den gegebenen Winkel nicht einschließen dürfen.
Beispiel 1: Gesetz der Sinus.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\( \frac{a}{\sin(43°)} = \frac{9 \,m}{\sin(56°)} \)
\( \frac{x}{\sin(60°)} = \frac{7 \,cm}{\sin(42°)} \)
\( \frac{s}{\sin(34°)} = \frac{3 \,m}{\sin(73°)} \)
\( \frac{b}{\sin(42°)} = \frac{11 \,cm}{\sin(65°)} \)
\( \frac{y}{\sin(47°)} = \frac{28 \,m}{\sin(61°)} \)
\( \frac{z}{\sin(49°)} = \frac{2 \,dm}{\sin(51°)} \)
\( \frac{a}{\sin(43°)} = \frac{9 \,m}{\sin(56°)} \)
\( \frac{x}{\sin(60°)} = \frac{7 \,cm}{\sin(42°)} \)
\( \frac{s}{\sin(34°)} = \frac{3 \,m}{\sin(73°)} \)
\( \frac{b}{\sin(42°)} = \frac{11 \,cm}{\sin(65°)} \)
\( \frac{y}{\sin(47°)} = \frac{28 \,m}{\sin(61°)} \)
\( \frac{z}{\sin(49°)} = \frac{2 \,dm}{\sin(51°)} \)

Tipp: Achte immer nach jeder Aufgabe darauf, dass die Einheit am Ende deiner Rechnung korrekt ist. Typische Oberflächeneinheiten sind \(m^2, dm^2, cm^2 \) und \( mm^2\).

Beispiel 2: Gib das gesuchte Seitenverhältnis an.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} \frac{a}{\sin(47°)}&= \frac{11 \,m}{\sin(52°)} && \, |\, \cdot\,{\sin(47°)} \\[8pt] a &=\frac{11 \,m}{\sin(52°)}\cdot {\sin(47°)}\\[8pt] a &\approx {10,21\,m} \end{aligned} \]

Tipp: Für den Zusammenhang zwischen Radius \(r \) und Durchmesser \(d\) gilt: \(r=\frac{d}{2} \)

Beispiel 3: Gib das gesuchte Seitenverhältnis an.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} \frac{x}{\sin(72°)}&= \frac{11 \,cm}{\sin(52°)} && \, |\, \cdot\,{\sin(47°)} \\[8pt] a &=\frac{11 \,m}{\sin(52°)}\cdot {\sin(47°)}\\[8pt] a &\approx {10,21\,m} \end{aligned} \]

Tipp: Für den Zusammenhang zwischen Radius \(r \) und Durchmesser \(d\) gilt: \(r=\frac{d}{2} \)

Der Kosinussatz

Der Sinussatz Der Kosinussatz beschreibt eine Gleichung, in welcher die drei Seiten eines allgemeinen Dreiecks sowie der Kosinus eines Winkels vorkommen. Es gilt:
\( \begin{aligned} a^2 &= b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha) \\[8pt] b^2 &= a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos(\beta) \\[8pt] c^2 &= a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma) \end{aligned} \)
Der Kosinussatz Info 1: Die Beschriftung ist so zu wählen, dass die Seiten 𝑎, 𝑏 und 𝑐 den Winkeln 𝛼, 𝛽 und 𝛾 wie in der Abbildung gegenüberliegen.

Info 2: Der Kosinussatz wird angewendet, wenn
  • 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel oder
  • 3 Seiten gegeben sind.
Info 3: Um unsere Rechnungen zu vereinfachen, werden wir auf das Aufschreiben der Einheiten beim Rechnen verzichten.
Beispiel 1: Gib das gesuchte Seitenverhältnis an.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} a^2 &= b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot {\cos(\alpha)} && |\, \sqrt{\phantom{0}} \\[8pt] a &= \sqrt{9^2 + 8^2 - 2 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cos(54°)} \\[8pt] a &\approx {7,77\,m} \end{aligned} \]

Tipp: Für den Zusammenhang zwischen Radius \(r \) und Durchmesser \(d\) gilt: \(r=\frac{d}{2} \)

Beispiel 2: Gib das gesuchte Seitenverhältnis an.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} x^2 &= a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot {\cos(\gamma)} && \, |\, \sqrt{\phantom{0}} \\[8pt] x &= \sqrt{14^2 + 12^2 - 2 \cdot 14 \cdot 12 \cdot \cos(39°)} \\[8pt] x &\approx {8,88\,m} \end{aligned} \]

Tipp: Für den Zusammenhang zwischen Radius \(r \) und Durchmesser \(d\) gilt: \(r=\frac{d}{2} \)

Beispiel 3: Gib das gesuchte Seitenverhältnis an.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} c^2 &= a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot {\cos(\gamma)} && |\, \sqrt{\phantom{0}} \\[8pt] c &= \sqrt{a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma)} \\[8pt] c &= \sqrt{6^2 + 9^2 - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \cos(80°)} \\[8pt] c &\approx {9,91\,m} \end{aligned} \]

Tipp: Für den Zusammenhang zwischen Radius \(r \) und Durchmesser \(d\) gilt: \(r=\frac{d}{2} \)

Beispiel 4: Gib das gesuchte Seitenverhältnis an.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} b^2 &= a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot {\cos(\beta)} && |\, \sqrt{\phantom{0}} \\[8pt] b &= \sqrt{a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos(\beta)} \\[8pt] b &= \sqrt{11^2 + 9^2 - 2 \cdot 11 \cdot 9 \cdot \cos(32°)} \\[8pt] b &\approx {5,84\,cm} \end{aligned} \]

Tipp: Für den Zusammenhang zwischen Radius \(r \) und Durchmesser \(d\) gilt: \(r=\frac{d}{2} \)

Beispiel 5: Gib das gesuchte Seitenverhältnis an.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} a^2 &= b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot {\cos(\alpha)} && |\, \sqrt{\phantom{0}} \\[8pt] a &= \sqrt{b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha)} \\[8pt] a &= \sqrt{19^2 + 21^2 - 2 \cdot 19 \cdot 21 \cdot \cos(36°)} \\[8pt] a &\approx {12,51\,dm} \end{aligned} \]

Tipp: Für den Zusammenhang zwischen Radius \(r \) und Durchmesser \(d\) gilt: \(r=\frac{d}{2} \)

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