Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide ist ein spitz zulaufender geometrischer Körper mit einem Vieleck als Grundfläche \( G\) (z. B. Dreieck, Viereck, Fünfeck usw.) und mehreren Dreiecken als Mantelfläche. Dabei treffen sich alle Dreiecke der Mantelfläche in einem gemeinsamen Punkt \( S \), den man Spitze der Pyramide nennt.

Der Abstand der Spitze S von der Grundfläche G wird als die Höhe h der Pyramide bezeichnet. Die Kanten der Grundfläche nennt man Grundkanten, die Kanten der Seitenfläche heißen Seitenkanten.

Das Volumen einer Pyramide lässt sich mit folgender Formel berechnen:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \]

Merke: Häufig ist die Grundfläche nicht gegeben, sodass diese zuerst mithilfe bereits bekannter Formeln berechnet werden muss.

Beispiel 1:

Gib hier deine Überschrift ein

\[ \begin{aligned} V_1 &= \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot (4 \, \text{m})^2 \cdot 6 \, \text{m} \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot 16 \, \text{m}^2 \cdot 6 \, \text{m} \\[8pt] &= 32 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

Berechne das Volumen der abgebildeten Pyramide.

Beispiel 2: Volumenberechnung einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche.

Berechne das Volumen einer Pyramide mit dem abgebildeten Dreieck als Grundfläche und einer Körperhöhe \( H=12 m \) .

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot G \cdot H \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{g \cdot h}{2} \right) \cdot H \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 9 \, \text{m} \cdot 7 \, \text{m} \right) \cdot 12 \, \text{m} \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot 31,5 \, \text{m}^2 \cdot 12 \, \text{m} \\[8pt] &= 126 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

Beispiel 3: Umstellen der Volumenformel nach der Höhe.

Berechne das Volumen einer Pyramide mit dem abgebildeten Trapez als Grundfläche und einer Körperhöhe \( H=6 m \) .

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot G \cdot H \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{a + c}{2} \cdot h \right) \cdot H \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{6,2 \, \text{m} + 3,8 \, \text{m}}{2} \cdot 2,5 \, \text{m} \right) \cdot 12 \, \text{m} \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot 12,5 \, \text{m}^2 \cdot 6 \, \text{m} \\[8pt] &= 25 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

Beispiel 4: Volumenberechnung zusammengesetzter Körper.

Berechne das Volumen des abgebildeten zusammengesetzten Körpers.

\[ \begin{aligned} &V_1 = a \cdot b \cdot c = 6 \, \text{m} \cdot 8 \, \text{m} \cdot 3 \, \text{m} = 144 \j, \text{m}^3 \\[14pt] &V_2 = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (a \cdot b) \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 6 \, \text{m} \cdot 8 \, \text{m} \cdot 2,5 \, \text{m} = 40 \, \text{m}^3 \\[14pt] &V_{Gesamt} = V_1 + V_2 = 144 \, \text{m}^3 + 40 \, \text{m}^3 = 184 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

\[ \begin{aligned} V_1 &= A \cdot B \cdot C \\[8pt] &= 6 \, \text{m} \cdot 8 \, \text{m} \cdot 3 \, \text{m} \\[8pt] &= 144 \, \text{m}^3 \\[14pt] V_2 &= \frac{1}{3} \cdot G \cdot H \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot (A \cdot B) \cdot H \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot 6 \, \text{m} \cdot 8 \, \text{m} \cdot 2,5 \, \text{m} \\[8pt] &= 40 \, \text{m}^3 \\[14pt] \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} V_{Gesamt} &= V_1 + V_2 \\[8pt] &= 144 \, \text{m}^3 + 40 \, \text{m}^3 \\[8pt] &= 184 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

Oberfläche der Pyramide:

Eine Pyramide ist ein spitz zulaufender geometrischer Körper mit einem Vieleck als Grundfläche \( G \) (z. B. Dreieck, Viereck, Fünfeck usw.) und mehreren Dreiecken als Mantelfläche \( M \). Die Kanten der Grundfläche nennt man Grundkanten. Die Kanten der Seitenfläche heißen Seitenkanten und werden oft mit \( s \) bezeichnet. Als Seitenhöhe \( h_s \) bezeichnet man die Höhe eines Seitenflächendreiecks.

Die Oberfläche einer Pyramide lässt sich mit folgender Formel berechnen:

\[ O = G+M \cdot h \]

Für eine quadratische Pyramide gilt beispielsweise:

\[ O = a^2+2\cdot a \cdot h_s \]

Beispiel 5: Berechnung der Oberfläche einer Pyramide.

Berechne die Oberfläche der abgebildeten Pyramide.

\[ \begin{aligned} O &= G + M \\[8pt] &= a^2 + 4 \cdot A_D \\[8pt] &= a^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_s \\[8pt] &= a^2 + 2 \cdot a \cdot h_s \\[8pt] &= (6 \, \text{m})^2 + 2 \cdot 6 \, \text{m} \cdot 8 \, \text{m} \\[8pt] &= 36 \, \text{m}^2 + 96 \, \text{m}^2 \\[8pt] &= 132 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Du könntest hier beim vierten Schritt anfangen und sofort die Oberflächenformel einer quadratischen Pyramide schreiben. Wir haben aber hier weitere Zwischenschritte hinzugefügt, damit du verstehst, wie man sich die Oberflächenformel einer quadratischen Pyramide herleitet. In den meisten Formelsammlungen steht außerdem nur die allgemeine Oberflächenformel \(O=G+M \) und die Oberflächenformel einer quadratischen Pyramide. Hat die Pyramide eine andere Grundfläche, so müsstest du für diese Pyramide die Oberflächenformel ähnlich wie im oberen Beispiel herleiten.