Würfelrechner

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GrößeWert
Seitenlänge a
Oberfläche O
Volumen V

Berechnung der Größe eines Würfels

1. Der Würfel (Oberfläche, Volumen und Diagonale):

Ein Würfel ist ein spezieller Fall eines Quaders, bei dem alle Kanten die gleiche Länge haben. Die Diagonale, die Oberfläche und das Volumen eines Würfels können mit den folgenden Formeln berechnet werden:

  • Diagonale: \(d = \sqrt{3} a\), wobei \(a\) die Seitenlänge des Würfels ist.
  • Oberfläche: \(O = 6a^2\)
  • Volumen: \(V = a^3\)

Diese Formeln ermöglichen es uns, die Diagonale, Oberfläche und das Volumen eines Würfels basierend auf seiner Seitenlänge zu bestimmen.

2. Berechnung der Seitenlänge aus der Oberflächenformel:

Um die Seitenlänge \(a\) eines Würfels aus der Oberflächenformel zu berechnen, führen wir folgende Schritte durch:

  1. Wir schreiben als erstes die Oberflächenformel für den Würfel.
  2. Um die Seitenlänge \(a\) zu isolieren, teilen wir beide Seiten der Gleichung durch \(6\).
  3. Um \(a\) zu erhalten, ziehen wir auf beiden Seiten die Quadratwurzel.
\begin{align} O &= 6a^2 && |\,:6 \\[5pt] \frac{O}{6} &= a^2 && |\,\sqrt{\phantom{2}} \\[5pt] \Rightarrow \qquad a &= \sqrt{\frac{O}{6}} \end{align}

Mit Hilfe dieser Formel lässt sich also nun aus der Oberfläche \(O\) eines Würfels die Seitenlänge \(a\) des Würfels berechnen. Mit der Seitenlänge können anschließend das Volumen und die Diagonale des Würfels berechnet werden.

3. Berechnung der Seitenlänge aus der Volumenformel:

Um die Seitenlänge \(a\) eines Würfels aus der Volumenformel zu berechnen, führen wir folgende Schritte durch:

  1. Wir schreiben als erstes die Volumenformel für den Würfel.
  2. Um die Seitenlänge \(a\) zu isolieren, ziehen wir auf beiden Seiten die dritte Wurzel.
\[ \begin{aligned} V &= a^3 && |\,\sqrt[3]{\phantom{2}} \\[5pt] \Rightarrow \qquad a &= \sqrt[3]{V} \end{aligned} \]

Mit Hilfe dieser Formel lässt sich also nun aus dem Volumen \(V\) eines Würfels die Seitenlänge \(a\) des Würfels berechnen. Mit der Seitenlänge können anschließend die Oberfläche und die Diagonale des Würfels berechnet werden.

4. Herleitung der Formel für die Diagonale \(d\):

Die Diagonale \(d\) eines Würfels (auch Raumdiagonale genannt) kann durch zweimaliges Anwenden des Pythagorassatzes hergeleitet werden. Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten ist. Wir berechnen also zuerst mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Größe der Flächendiagonale \(d_2\)

Daher ergibt sich die für die Flächendiagonale \(d_2\):

\begin{align} d_2^2&=a^2+a^2 \\[5pt] d_2^2&=2a^2 \\[5pt] d_2 &= \sqrt{2a^2} \\[5pt] d_2&= \sqrt{2}a \end{align}

Mit Hilfe der Flächendiagonale \(d_2\) und der Kantenlänge \(a\) lässt sich durch erneutes Anwenden des Satzes von Pythagoras die Raumdiagonale \(d\) betimmen.

\begin{align} d^2&=d_2^2+a^2 \\[5pt] d^2&=(\sqrt{2}a)^2+a^2 \\[5pt] d^2 &= 2a^2+a^2 \\[5pt] d^2&= 3a^2 \\[5pt] d&= \sqrt{3}a \end{align}

Und mit dieser Formel lässt sich nun die Raumdiagonale \(d\) eines Würfels berechnen. Durch Umformen der Formel kann man aus der Diagonale \(d\) die Kantenlänge \(a\) und somit die anderen Werte berechnen.

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