1. Kugel (Oberfläche und Volumen):

Die Kugel ist eine der grundlegenden geometrischen Formen und findet in vielen mathematischen und physikalischen Bereichen Anwendung. Um die Oberfläche und das Volumen einer Kugel zu berechnen, verwenden wir die folgenden Formeln:

• Oberfläche: \( O = 4\pi r^2 \), wobei \( r \) der Radius der Kugel ist.
• Volumen: \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \).

Diese Formeln ermöglichen es uns, die Oberfläche \(O\) und das Volumen \(V\) einer Kugel basierend auf ihrem Radius zu bestimmen.

2. Berechnung des Radius aus der Oberflächenformel:

Um den Radius \(r\) einer Kugel aus der Oberflächenformel zu berechnen, führen wir folgende Schritte durch:

1. Wir schreiben als erstes die Oberflächenformel für die Kugel.
2. Um den Radius \(r\) zu isolieren, teilen wir beide Seiten der Gleichung durch \(4\pi\).
3. Um \(r\) zu erhalten, ziehen wir die Quadratwurzel auf beiden Seiten.

\begin{align} O &= 4\pi r^2 && |\,:4\pi \\[5pt] \frac{O}{4\pi} &= r^2 && |\,\sqrt[2]{\phantom{2}} \\[5pt] \Rightarrow \qquad r &= \sqrt{\frac{O}{4\pi}} \end{align}

Mit Hilfe dieser Formel lässt sich also nun aus der Oberfläche \(O\) einer Kugel den Radius \(r\) der Kugel berechnen. Mit dem Radius kann anschließend das Volumen der Kugel bestimmt werden.

3. Berechnung des Radius aus der Volumenformel:

Um den Radius \( r \) einer Kugel aus der Volumenformel zu berechnen, führen wir folgende Schritte durch:

1. Wir schreiben als erstes die Volumenformel für die Kugel.
2. Um den Radius \(r\) zu isolieren, müssen wir zuerst beide Seiten der Gleichung mit \(\frac{3}{4}\) multiplizieren.
3. Um \(\pi\) auf der rechten Seite zu elimineiren, müssen wir auf beiden Seiten durch \(\pi\) teilen.
4. Um \(r\) zu erhalten, ziehen wir die dritte Wurzel auf beiden Seiten.

\[ \begin{aligned} V &= \frac{4}{3}\pi r^3 && |\,\cdot \frac{3}{4}\\[5pt] \frac{3}{4}V &= \pi r^3 && |\,: \pi\\[5pt] \frac{3V}{4\pi} &= r^3 && |\,\sqrt[3]{\phantom{2}} \\[5pt] \Rightarrow \qquad r &= \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}} \end{aligned} \]

Mit Hilfe dieser Formel lässt sich also nun aus dem Volumen \(V\) einer Kugel den Radius \(r\) der Kugel berechnen. Mit dem Radius kann anschließend die Oberfläche der Kugel berechnet werden.