Umstellen der Volumenformel von Kegeln und Pyramiden

Die abgebildete quadratische Pyramide hat ein Volumen von \(V=240 \, cm^3\) und eine Höhe von \(h=13 \, cm\).
Berechne die Länge der Grundseite a.
Geg.: \( V = 240 \, cm^3 \, , \, h = 13 \, cm \)
Ges.: Grundseite \( a \)
\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h && \, \, | \cdot \, 3 \\[8pt] 3V &= a^2 \cdot h && \, \, | \cdot \,h \\[8pt] \frac{3V}{h} &= a^2 && \, \, | \sqrt{\,\,\,} \\[8pt] \sqrt{\frac{3V}{h}} &= a \\[8pt] \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Rightarrow a = \sqrt{\frac{3V}{h}} &= \sqrt{\frac{3 \cdot 240 \, cm^3}{13 \, cm}} \approx 7,44 \, cm \end{aligned} \]
Beispiel 1:

Eine Grundseite einer rechteckigen Pyramide \( (V=25 \, m^3, \, \ h=5 \, m ) \) hat eine Länge von \(3 \,m\). Berechne die Länge der anderen Grundseite.

\( \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot a \cdot b \cdot h && \, \, | \cdot \, 3 \\[8pt] 3V &= a \cdot b \cdot h && \, \, |\, :h \\[8pt] \frac{3 \cdot V}{h} &= a \cdot b && \, \, |\, :a \\[8pt] \frac{3 \cdot V}{h \cdot a} &= b \\[8pt] \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} \Rightarrow b = \frac{3 \cdot V}{h \cdot a} &= \frac{3 \cdot 25 \, m^3}{5 \, m \cdot 3 \, m} = 5 \, m \end{aligned} \)

Tipp: Achte immer darauf, dass die Einheit am Ende deiner Rechnung korrekt ist. 

Beispiel 2:

Ein Kegel mit einem Radius von \(r=5 \, cm\) besitzt ein Volumen von \(V=320 \, cm^3\). Berechne die Höhe des Kegels.

\( \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h && \,\, | \cdot \, 3 \\[8pt] 3 \cdot V &= \pi \cdot r^2 \cdot h && \,\, | : \pi \\[8pt] \frac{3 \cdot V}{\pi} &= r^2 \cdot h && \,\, | : r^2 \\[8pt] \frac{3 \cdot V}{\pi \cdot r^2} &= h \\[8pt] \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} \Rightarrow h = \frac{3 \cdot V}{\pi \cdot r^2} &= \frac{3 \cdot 320 \, cm^3}{\pi \cdot (5 \, cm)^2} \approx 12.22 \, cm \end{aligned} \)
Beispiel 3:

 Berechne die Höhe h einer Pyramide (\(V=180 \, dm^3\)), die eine dreieckige Grundfläche mit der Grundseite \(g=8 \, dm\) und der Höhe \(h_D=9 \ dm\) besitzt.

\( \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_D \cdot h \\[8pt] V &= \frac{1}{6} \cdot g \cdot h_D \cdot h && \, \, | \cdot \,6 \\[8pt] 6 \cdot V &= g \cdot h_D \cdot h && \, \, |\;: h_D \\[8pt] \frac{6 \cdot V}{h_D} &= g \cdot h && \, \, |\;: g \\[8pt] \frac{6 \cdot V}{h_D \cdot g} &= h \\[8pt] \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} \Rightarrow h = \frac{6V}{h_D \cdot g} &= \frac{6 \cdot 180 \, dm^3}{9 \, dm \cdot 8 \, dm} = 15 \, dm \end{aligned} \)
Beispiel 4:

Ein Kegel mit einer Höhe von \(h=14 \, cm\) besitzt ein Volumen von \(V=210 \, cm^3\). Berechne den Radius des Kegels.

\( \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h && \, \, | \cdot \, 3 \\[8pt] 3V &= \pi \cdot r^2 \cdot h && \, \, | \, :(\pi \cdot h) \\[8pt] \frac{3\cdot V}{\pi \cdot h} &= r^2 && \, \, | \sqrt{\,\,\,} \\[8pt] \sqrt{\frac{3\cdot V}{\pi \cdot h}} &= r \\[8pt] \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} \Rightarrow r &= \sqrt{\frac{3 \cdot 210 \, cm^3}{\pi \cdot 14 \, cm}} \approx \sqrt{14,32 \, cm^2} \approx 3,78 \, cm \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} \Rightarrow r &= \sqrt{\frac{3 \cdot 210 \, cm^3}{\pi \cdot 14 \, cm}} \approx \sqrt{14,32 \, cm^2} \\[8pt] &\approx 3,78 \, cm \end{aligned} \)

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