Der Kosinussatz

Der Sinussatz Der Kosinussatz beschreibt eine Gleichung, in welcher die drei Seiten eines allgemeinen Dreiecks sowie der Kosinus eines Winkels vorkommen. Es gilt:
\( \begin{aligned} a^2 &= b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha) \\[8pt] b^2 &= a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos(\beta) \\[8pt] c^2 &= a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma) \end{aligned} \)
Der Kosinussatz Info 1: Die Beschriftung ist so zu wählen, dass die Seiten 𝑎, 𝑏 und 𝑐 den Winkeln 𝛼, 𝛽 und 𝛾 wie in der Abbildung gegenüberliegen.

Info 2: Der Kosinussatz wird angewendet, wenn
  • 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel oder
  • 3 Seiten gegeben sind.
Info 3: Um unsere Rechnungen zu vereinfachen, werden wir auf das Aufschreiben der Einheiten beim Rechnen verzichten.
Beispiel 1: Gib das gesuchte Seitenverhältnis an.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} a^2 &= b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot {\cos(\alpha)} && |\, \sqrt{\phantom{0}} \\[8pt] a &= \sqrt{9^2 + 8^2 - 2 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cos(54°)} \\[8pt] a &\approx {7,77\,m} \end{aligned} \]

Tipp: Für den Zusammenhang zwischen Radius \(r \) und Durchmesser \(d\) gilt: \(r=\frac{d}{2} \)

Beispiel 2: Gib das gesuchte Seitenverhältnis an.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} x^2 &= a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot {\cos(\gamma)} && \, |\, \sqrt{\phantom{0}} \\[8pt] x &= \sqrt{14^2 + 12^2 - 2 \cdot 14 \cdot 12 \cdot \cos(39°)} \\[8pt] x &\approx {8,88\,m} \end{aligned} \]

Tipp: Für den Zusammenhang zwischen Radius \(r \) und Durchmesser \(d\) gilt: \(r=\frac{d}{2} \)

Beispiel 3: Gib das gesuchte Seitenverhältnis an.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} c^2 &= a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot {\cos(\gamma)} && |\, \sqrt{\phantom{0}} \\[8pt] c &= \sqrt{a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma)} \\[8pt] c &= \sqrt{6^2 + 9^2 - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \cos(80°)} \\[8pt] c &\approx {9,91\,m} \end{aligned} \]

Tipp: Für den Zusammenhang zwischen Radius \(r \) und Durchmesser \(d\) gilt: \(r=\frac{d}{2} \)

Beispiel 4: Gib das gesuchte Seitenverhältnis an.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} b^2 &= a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot {\cos(\beta)} && |\, \sqrt{\phantom{0}} \\[8pt] b &= \sqrt{a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos(\beta)} \\[8pt] b &= \sqrt{11^2 + 9^2 - 2 \cdot 11 \cdot 9 \cdot \cos(32°)} \\[8pt] b &\approx {5,84\,cm} \end{aligned} \]

Tipp: Für den Zusammenhang zwischen Radius \(r \) und Durchmesser \(d\) gilt: \(r=\frac{d}{2} \)

Beispiel 5: Gib das gesuchte Seitenverhältnis an.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} a^2 &= b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot {\cos(\alpha)} && |\, \sqrt{\phantom{0}} \\[8pt] a &= \sqrt{b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha)} \\[8pt] a &= \sqrt{19^2 + 21^2 - 2 \cdot 19 \cdot 21 \cdot \cos(36°)} \\[8pt] a &\approx {12,51\,dm} \end{aligned} \]

Tipp: Für den Zusammenhang zwischen Radius \(r \) und Durchmesser \(d\) gilt: \(r=\frac{d}{2} \)

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