1. Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide ist ein spitz zulaufender geometrischer Körper mit einem Vieleck als Grundfläche \( G\) (z. B. Dreieck, Viereck, Fünfeck usw.) und mehreren Dreiecken als Mantelfläche. Dabei treffen sich alle Dreiecke der Mantelfläche in einem gemeinsamen Punkt \( S \), den man Spitze der Pyramide nennt. 

Der Abstand der Spitze \( S\) von der Grundfläche \( G\) wird als die Höhe \( h\) der Pyramide bezeichnet. Die Kanten der Grundfläche nennt man Grundkanten, die Kanten der Seitenfläche heißen Seitenkanten.

Das Volumen \( V\) einer Pyramide lässt sich mit folgender Formel berechnen:
\( V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \)

Merke: Häufig ist die Grundfläche nicht gegeben, sodass diese zuerst mithilfe bereits bekannter Formeln berechnet werden muss.

pyramide-allgemein-bezeichnungen

Wichtig für die Klausurvorbereitung:

Bei den folgenden Aufgaben handelt es sich um sehr grundlegende Aufgaben zum Thema Volumenberechnung der Pyramide. In einer Klausur oder Klassenarbeit sollten alle diese Aufgaben für dich problemlos lösbar sein. Es ist daher ratsam, ausreichend zu üben und sicher zu stellen, dass du die grundlegenden Aufgaben ohne Probleme lösen kannst.
Dazu gehört, dass du die Formel beherrschst, aber auch, dass du mit den Einheiten umgehen und diese gegebenenfalls korrekt umrechnen kannst.
Zudem solltest du die Formeln für die möglichen Grundflächen einer Pyramide kennen, sodass du diese je nach Aufgabe in die allgemeine Volumenformel der Pyramide einsetzen kannst.

Über diese Aufgaben hinaus, werden in der Regel auch Textaufgaben in einer Klausur gestellt. Hierbei musst du die gegebenen Informationen aus der Textaufgabe herauslesen können und diese anschließend in die Formel einsetzen und berechnen.
Gegebenenfalls musst du hier auch die Volumenformel der Pyramide auch nach anderen gesuchten Größen umstellen können.
Wenn du dafür weitere Übungsaufgaben benötigst, kannst du dir gerne unsere Arbeitsblätter und Videos ansehen. Außerdem werden bald auch Online-Kurse zu diesem Thema hier bei uns zu finden sein.

Wir zeigenen dir nun im folgenden die wichtigsten Übungsaufgaben, deren Berechnung du für die Klausur beherrschen solltest.

Übungsaufgaben zum Volumen der Pyramide

Beispiel 1: Volumenberechnung bei gegebener Grundfläche.
Berechne das Volumen der folgenden Pyramide.
\( \begin{equation} V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 15\ cm^2 \cdot 5 \,cm = 25 \, \,{cm}^3 \end{equation} \)
\( \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot 15\ cm^2 \cdot 5 \,cm \\[8pt] &= 25 \, \,{cm}^3 \end{aligned} \)

Tipp: Sind die Höhe \( h \) und die Grundfläche \( G \) einer Pyramide gegeben,so können diese Werte einfach in die Volumenformel \( V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \) eingesetzt werden.

Beispiel 2: Volumenberechnung bei gegebener Grundfläche.
Berechne das Volumen der folgenden Pyramide.
\( \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 72\ m^2 \cdot 12 \,m = 288 \, \,{m}^3 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} V &= \tfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[8pt] &= \tfrac{1}{3} \cdot 72\ m^2 \cdot 12 \,m \\[8pt] &= 288 \, \,{m}^3 \end{aligned} \)

Tipp: Achte immer nach jeder Aufgabe darauf, dass alle Einheiten stimmen. 
Typische Volumeneinheiten sind \(m^3, dm^3, cm^3 \) und \( mm^3\), aber auch  \( l, dl,  cl\) und  \( ml. \)

Beispiel 3: Volumenberechnung bei quadratischer Grundfläche.

Berechne das Volumen der Pyramide mit quadratischer Grundfläche.

volumen-der-quadratischen-pyramide
\( \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (4 \, m)^2 \cdot 6 \, m\\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot 16 \, m^2 \cdot 6 \, m= 32 \, m^3 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[8pt]
&= \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h \\[8pt]
&= \frac{1}{3} \cdot (4 \, \text{m})^2 \cdot 6 \, \text{m}\\[8pt]
&= \frac{1}{3} \cdot 16 \, \text{m}^2 \cdot 6 \, m\\[8pt]
&= 32 \, \text{m}^3 \end{aligned} \)
volumen-der-quadratischen-pyramide

Tipp: Da es sich um eine quadratische Grundfläche handelt, musst du das \(G \)  durch \( a^2 \) ersetzen.

Beispiel 4: Volumenberechnung bei rechteckige Grundfläche.

Berechne das Volumen der Pyramide mit rechteckiger Grundfläche.

volumen-der-quadratischen-pyramide-2
\( \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a \cdot b \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 15 \, cm \cdot 12 \, cm \cdot 22 cm= 1320 \, cm^3 \end{aligned} \)
volumen-der-quadratischen-pyramide-2
\( \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot a \cdot b \cdot h \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot 15 \, cm \cdot 12 \, cm \cdot 22 \, cm\\[8pt] &= 1320 \, cm^3 \end{aligned} \)

Tipp: Da es sich um eine rechteckige Grundfläche handelt, musst du das \(G \)  durch \( a \cdot b \) ersetzen.

Beispiel 5: Volumenberechnung bei rechteckige Grundfläche.

Berechne das Volumen einer Pyramide mit einer Körperhöhe \( H=12 \, m\) und der abgebildeten dreieckigen Grundfläche.

\( \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot G \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{g \cdot h}{2} \right) \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 9 \, m \cdot 7 \, m \right) \cdot 12 \, m \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot 31,5 \, m^2 \cdot 12 \, m = 126 \, m^3 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot G \cdot H \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{g \cdot h}{2} \right) \cdot H \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 9 \, m \cdot 7 \, m \right) \cdot 12 \, m \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot 31.5 \, m^2 \cdot 12 \, m \\[8pt] &= 126 \, m^3 \end{aligned} \)

Tipp: Bei dieser Aufgabe musst du darauf aufpassen, dass du zwei Höhen gegeben hast. Einmal die Körperhöhe \( H\) der Pyramide und einmal die Höhe \( h\) des Dreiecks.

Hier findest du den Onlinekurs

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