Oberfläche des Kegels

Ein Kegel setzt sich zusammen aus der Grundfläche \( G \), der Spitze \( S \), der Mantelfläche \( M \), der Mantellinie \( s \) und der Höhe \( h \). Die Oberfläche \( O \) eines Kegels lässt sich analog zur Pyramide mit der folgenden Formel berechnen:
\(O = G + M\)
Für die Mantelfläche \(M\) gilt:
\( M = \pi \cdot r \cdot s \)
Somit folgt für die Oberfläche \(O\):
\( O = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s \)
Beispiel 1: Oberflächenberechnung eines Kegels bei gegebenem Radius und Körperhöhe.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\( O = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s = \pi \cdot (3 \, cm)^2 + \pi \cdot 3 \, cm \cdot 8 \, cm \approx 103,67 \, cm^2 \)
\( \begin{aligned} O &= \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s \\[8pt] &= \pi \cdot (3 \, cm)^2 + \pi \cdot 3 \, cm \cdot 8 \, cm \\[8pt] &\approx 103,67 \, cm^2 \end{aligned} \)

Tipp: Achte immer nach jeder Aufgabe darauf, dass die Einheit am Ende deiner Rechnung korrekt ist. Typische Oberflächeneinheiten sind \(m^2, dm^2, cm^2 \) und \( mm^2\).

Beispiel 2: Oberflächenberechnung eines Kegels bei gegebenem Durchmesser und Körperhöhe.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\( \begin{aligned} O &= \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s = \pi \cdot (1,4 \, cm)^2 + \pi \cdot 1,4 \, cm \cdot 4,5 \, cm \approx 25,95 \, cm^2 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} O &= \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s \\[8pt] &= \pi \cdot (1,4 \, cm)^2 + \pi \cdot 1,4 \, cm \cdot 4,5 \, cm \\[8pt] &\approx 25,95 \, cm^2 \end{aligned} \)

Tipp: Für den Zusammenhang zwischen Radius \(r \) und Durchmesser \(d\) gilt: \(r=\frac{d}{2} \)

Beispiel 3: Oberflächenberechnung eines Kegels bei bei unterschiedliechen Einheiten.

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\( \begin{aligned} O &= \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s = \pi \cdot (12 \, dm)^2 + \pi \cdot 12 \, dm \cdot 2,4 \, m \\[8pt] &= \pi \cdot (12 \, dm)^2 + \pi \cdot 12 \, dm \cdot 24 \, dm \\[8pt] &\approx 1356,62 \, dm^2 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} O &= \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s \\[8pt] &= \pi \cdot (12 \, dm)^2 + \pi \cdot 12 \, dm \cdot 2,4 \, m \\[8pt] &= \pi \cdot (12 \, dm)^2 + \pi \cdot 12 \, dm \cdot 24 \, dm \\[8pt] &\approx 1356,62 \, dm^2 \end{aligned} \)

Tipp: Achte darauf, dass du die Einheiten immer richtig umformst. Bevor du alle Werte im Taschenrechner eingibst, müssen diese dieselbe Einheit haben.

Beispiel 4: Oberflächenberechnung eines zusammengesetzten Körpers.

Der abgebildete Körper setzt sich aus zwei Kegel zusammen. Berechne die Oberfläche und das Volumen des Körpers.

\( \begin{aligned} O &= M_1 + M_2 = \pi \cdot r \cdot s_1 + \pi \cdot r \cdot s_2 \\[8pt] &= \pi \cdot 5 \, dm \cdot 8,6 \, dm + \pi \cdot 5 \, dm \cdot 13 \, dm \approx 339,29 \, dm^2 \\ \\ V &= V_1 + V_2 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h_1 + \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h_2 \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (5 \, dm)^2 \cdot 7 \, dm + \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (5 \, dm)^2 \cdot 12 \, dm \approx 497,42 \, dm^3 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} O &= M_1 + M_2 = \pi \cdot r \cdot s_1 + \pi \cdot r \cdot s_2 \\[8pt] &= \pi \cdot 5 \, dm \cdot 8,6 \, dm + \pi \cdot 5 \, dm \cdot 13 \, dm \\[8pt] &\approx 339,29 \, dm^2 \\ \\ V &= V_1 + V_2 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h_1 + \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h_2 \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (5 \, dm)^2 \cdot 7 \, dm \\[8pt] &\,\,\,\,\,\,\, + \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (5 \, dm)^2 \cdot 12 \, dm \\[8pt] &\approx 497,42 \, dm^3 \end{aligned} \)

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