Volumen des Kegels

Ein Kegel ist ein geometrischer Körper mit einer kreisförmigen Grundfläche \(G\) und einer Spitze \(S\), die außerhalb der Grundfläche liegt. Die Randpunkte der Grundfläche sind mit der Spitze verbunden und bilden auf diese Weise die Mantelfläche des Kegels.

Der Abstand der Spitze zur Grundfläche wird als Höhe \(h\) des Kegels bezeichnet.
Die Verbindungsstrecken von den Kreispunkten zur Spitze nennt man Mantellinie \(s\).

Das Volumen \(V\) eines Kegels lässt sich wie das Volumen einer Pyramide mit der folgenden Formel berechnen:
\( V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \)
Da es sich bei der Grundfläche um einen Kreis handelt, ergibt sich die Volumenformel:
\( V = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \)
Beispiel 1: Volumenberechnung eines Kegels bei gegebenem Radius und Körperhöhe.

Berechne das Volumen des abgebildeten Kegels.

\( \begin{aligned} V = \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (4 \, cm)^2 \cdot 12 \, cm \approx 201.06 \, cm^3 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (4 \, cm)^2 \cdot 12 \, cm \\[8pt] &\approx 201.06 \, cm^3 \end{aligned} \)
Beispiel 2: Volumenberechnung eines Kegels bei gegebenem Durchmesser und Körperhöhe.

Berechne das Volumen des abgebildeten Kegels.

\( \begin{aligned} V = \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2 \cdot h = \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left( \frac{1,2 \, dm}{2} \, \right)^2 \cdot 1,6 \, m \approx 0,6 \, dm^3 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \\[8pt] &= \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left( \frac{1,2 \, dm}{2} \, \right)^2 \cdot 1,6 \, m \\[8pt] &\approx 0,6 \, dm^3 \end{aligned} \)

Tipp: Für den Zusammenhang zwischen Radius \(r \) und Durchmesser \(d\) gilt: \(r=\frac{d}{2} \).

Beispiel 3:

Berechne das Volumen des abgebildeten Kegels.

Volumenberechnung-eines-kegels-bei-unterschiedlichen-einheiten
\( \begin{aligned} V = \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2 \cdot h = \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot(5 \, cm)^2 \cdot 0,8 \, dm = \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot(5 \, cm)^2 \cdot 8 \, cm \approx 209,44 \, m^3 \end{aligned} \)
Volumenberechnung-eines-kegels-bei-unterschiedlichen-einheiten
\( \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \\[8pt] &= \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot(13 \, m)^2 \cdot 22 \, m \\[8pt] &\approx 3893,48 \, m^3 \end{aligned} \)

Tipp: Achte darauf, dass du die Einheiten immer richtig umformst. Bevor du alle Zahlen im Taschenrechner eingibst, müssen alle die selbe Einheit haben.

Beispiel 4: Textaufgabe.

Alexanders Schultüte hat eine Höhe von \(0,5 \, m\) und einen Durchmesser von \(2 \, dm\). Berechne das Volumen des kegelförmigen Teils der Schultüte in Kubikdezimetern.

\( \begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2 \cdot h = \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (1 \, dm)^2 \cdot 0,5 \, m \\[8pt] &= \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (1 \, dm)^2 \cdot 5 \, dm \approx 5,24 \, dm^3 \end{aligned} \)
Beispiel 4: Textaufgabe.

Alexanders Schultüte hat eine Höhe von \(0,5 \, m\) und einen Durchmesser von \(2 \, dm\). Berechne das Volumen des kegelförmigen Teils der Schultüte in Kubikdezimetern.

\( \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \cdot h \\[8pt] &= \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (1 \, dm)^2 \cdot 0,5 \, m \\[8pt] &= \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (1 \, dm)^2 \cdot 5 \, dm \\[8pt] &\approx 5,24 \, dm^3 \end{aligned} \)

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