Der Kegel

Ein Kegel ist ein geometrischer Körper mit einer kreisförmigen Grundfläche \(G\) und einer Spitze \( S \), die außerhalb der Grundfläche liegt. Die Randpunkte der Grundfläche sind mit der Spitze verbunden und bilden auf diese Weise die Mantelfläche des Kegels.

Der Abstand der Spitze zur Grundfläche wird als Höhe \( h \) des Kegels bezeichnet. Die Verbindungsstrecken von den Kreispunkten zur Spitze nennt man Mantellinie \( s \).

Volumen des Kegels:

Das Volumen eines Kegels berechnet sich analog zum Volumen einer Pyramide. Neben dem Radius benötigst du beim Errechnen des Volumens die Höhe. Es gilt:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \]

Da es sich bei der Grundfläche um einen Kreis handelt, ergibt sich die Volumenformel:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \]

Die beiden Formeln sind wichtig für die Berechnung des Volumens eines Kegels.

Beispiel 1: Berechnung des Volumens eines Kegels.

Berechne das Volumen des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \\[8pt] &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (5 \, \text{m})^2 \cdot 9 \, \text{m} \\[8pt] &\approx 235,6 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

Beispiel 2: Berechnung des Volumens zusammengesetzter Figuren.

Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

\[ \begin{align} V_1 &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (5 \, \text{cm})^2 \cdot 8 \, \text{cm} \approx 209,44 \, \text{cm}^3 \\[8pt] V_2 &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (5 \, \text{cm})^2 \cdot 10 \, \text{cm} \approx 261,8 \, \text{cm}^3 \\[8pt] V_G &= V_1 + V_2 \approx 209,44 \text{cm}^3 + 261,8 \text{cm}^3 = 471,24 \, \text{cm}^3 \end{align} \]

Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

\[ \begin{align} V_1 &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \\[6pt] &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (5 \, \text{cm})^2 \cdot 8 \, \text{cm} \\[6pt] &\approx 209,44 \, \text{cm}^3 \\[16pt] V_2 &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \\[6pt] &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (5 \, \text{cm})^2 \cdot 10 \, \text{cm} \\[6pt] &\approx 261,8 \, \text{cm}^3 \\[2pt] \end{align} \]

\[ \begin{align} V_G &= V_1 + V_2 \approx 209,44 \text{cm}^3 + 261,8 \text{cm}^3 \\[6pt] &= 471,24 \, \text{cm}^3 \end{align} \]

Beispiel 3: Umstellen der Volumenformel nach der Höhe.

Berechne die Höhe des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h && \, \, | \cdot \, 3 \\[8pt] 3V &= \pi \cdot r^2 \cdot h && \, \, | : \pi \\[8pt] \frac{3V}{\pi} &= r^2 \cdot h && \, \, |: r^2 \\[8pt] \frac{3V}{\pi \cdot r^2} &= h \end{aligned} \]

\[ \Rightarrow \quad h = \frac{3V}{\pi \cdot r^2} = \frac{3 \cdot 320 \, \text{cm}^3}{\pi \cdot (5 \, \text{cm})^2} \approx 12,22 \, \text{cm} \]

Beispiel 4: Umstellen der Volumenformel nach dem Radius.

Berechne den Radius des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h && \, \, | \cdot 3 \\[8pt] 3V &= \pi \cdot r^2 \cdot h && \, \, | : (\pi \cdot h) \\[8pt] \frac{3V}{\pi \cdot h} &= r^2 && \, \, | \sqrt{\,\,\,} \\[8pt] \sqrt{\frac{3V}{\pi \cdot h}} &= r \\[8pt] \Rightarrow \quad r &= \sqrt{\frac{3 \cdot 210 \, \text{cm}^3}{\pi \cdot 14 \, \text{cm}}} \\[8pt] \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} & \quad \approx \sqrt{14,32 \, \text{cm}^2} \approx 3,78 \, \text{cm} \end{aligned} \]

Oberfläche des Kegels

Die Oberfläche \( O \) eines Kegels lässt sich analog zur Pyramide mit der folgenden Formel berechnen:

\[ O = G + M \]

Für die Mantelfläche \( M \) gilt:

\[ M = \pi \cdot r \cdot s \]

Für die Grundfläche \( G \) gilt:

\[ G = \pi \cdot r^2 \]

Somit folgt für die Oberfläche \( O \):

\[ O = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s \]

Beispiel: Berechnung der Oberfläche eines Kegel

Berechne die Oberfläche des abgebildeten Kegels.

\[ \begin{aligned} O &= G + M \\[5pt] &= \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s \\[5pt] &= \pi \cdot (6 \, \text{m})^2 + \pi \cdot 6 \, \text{m} \cdot 8 \, \text{m} \\[5pt] &\approx 209,1 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]